等价无穷小替换公式
常用等价无穷小替换汇总
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x→0时常用等价无穷小：sinx~x, tanx~x, arcsinx~x, arctanx~x, 1-cosx~x²/2, e^x-1~x, ln(1+x)~x, (1+x)^α-1~αx
x→0
字母含义
函数
等价无穷小
sin x
x
tan x
x
1-cos x
x²/2
e^x-1
x
ln(1+x)
x
(1+x)^α-1
αx
arcsin x
x
arctan x
x
公式详解
等价无穷小替换是求极限的重要方法，可大幅简化计算，但只能在乘除中替换，加减中慎用。
基本等价
：x→0时，sinx~x, tanx~x, 1-cosx~x²/2
指数对数
：e^x-1~x, ln(1+x)~x, a^x-1~xlna
幂函数
：(1+x)^α-1~αx, √(1+x)-1~x/2
反三角
：arcsinx~x, arctanx~x
使用规则
：只能替换乘除因子，不能替换加减项(除非用泰勒展开到足够阶数)
推广
：将x替换为任意无穷小量φ(x)，如sin(2x)~2x
典型例题
例1：乘除替换
lim(x→0) sin3x/tan5x = lim 3x/5x = 3/5
例2：1-cosx
lim(x→0) (1-cosx)/x² = lim (x²/2)/x² = 1/2
例3：e^x-1
lim(x→0) (e^(2x)-1)/sin3x = lim 2x/3x = 2/3
常见误区与注意事项
加减不能直接替换
lim(x→0)(tanx-sinx)/x³不能直接替换为(x-x)/x³=0，正确用泰勒展开得1/2。
只能乘除因子
等价无穷小只能替换乘积或商中的因子。
x→0的条件
等价关系在x→0时成立，其他极限过程需调整。
常见问题
等价无穷小能在加减中用吗？
一般不能直接用。若要用，需展开到足够阶数确保不丢失主项。
为什么1-cosx~x²/2？
由cosx的泰勒展开cosx=1-x²/2+o(x²)，所以1-cosx~x²/2。
等价无穷小和泰勒公式什么关系？
等价无穷小是泰勒展开的一阶(或最低阶)近似。
相关公式
泰勒公式
导数公式
积分公式
微积分基本公式
欧拉公式